9 Πρόβλημα

Σας δίνεται ότι η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου στην θεμελιώδη κατάσταση του ατόμου του υδρογόνου έχει τη μορφή $$\label{eqn:9_1} \psi = Ne^{-r/a_0}$$ όπου $a_0 = \hbar^2 / me^2$ η λεγόμενη “ακτίνα του Bohr.” Υπολογίστε:

1. Τη μέση απόσταση $\left< r \right>$ του ηλεκτρονίου από τον πυρήνα (ο οποίος θεωρείται ακίνητος στην αρχή των αξόνων).

2. Την απόσταση (ανεξαρτήτως κατεύθυνσης) όπου η πιθανότητα να βρούμε το ηλεκτρόνιο γίνεται μέγιστη.

3. Τις μέσες τιμές $\left< p_x \right>,\left< p_y \right>,\left< p_z \right>$ των συνιστωσών της ορμής του.

9.1 Λύση

1. Αρχικά πρέπει να βρούμε το $N$ $$\begin{gathered} \int_{V_\infty} \left| \psi(r) \right|^2\,dV = 1 \\ 4\pi\left| N \right|^2 \int_{0}^{\infty} r^2 e^{-2r / a_0} = 1 \\ 4\pi\left| N \right|^2 \frac{2!}{(\frac{2}{a_0})^3} = 1 \\ N = \pm \sqrt{\frac{1}{a_0^3 \pi}} \end{gathered}$$ Η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε απόσταση μεταξύ $r$ και $r+dr$ από το κέντρο είναι $$P(r)dr = \left| ψ \right|^2 dV = \left| ψ \right|^2 4πr^2dr$$ και επομένως η μέση τιμή του r είναι: $$\boxed{ \left< r \right> = \int_{0}^{\infty} \left| ψ \right|^2 r 4 π r^2 \,dr = \ldots = \frac{3a_0}{2} }$$

2. Η πιό πιθανή απόσταση $r_1$ προκύπτει από τη συνθήκη $$\begin{gathered} \frac{d P}{d r} = 0 \\ \frac{d (r^2 e^{-2r /a_0})}{d r} = 0 \\ \left(2r - \frac{2}{a_0}r^2\right) e^{-2r /a_0} = 0 \\ \boxed{r_1=a_0} \end{gathered}$$

3. Έχουμε δείξει ξανά ότι για πραγματική κυματοσυνάρτηση σε μονοδιάστατο σύστημα η μέση τιμή της ορμής είναι ίση με μηδέν. Ομοίως σε τρισδιάστατο σύστημα, έχοντας μια πραγματική κυματοσυνάρτηση η μέση τιμή της ορμής σε κάθε διάσταση θα είναι μηδέν. Άρα $\boxed{\left< p_x \right> = \left< p_y \right> = \left< p_z \right> = 0}$