3 Πρόβλημα

Υπολογίστε τις αβεβαιότητες θέσης και ορμής, \(Δ_x\) και \(Δ_p\), για μια τυχούσα ιδιοσυνάρτηση \[ψ_n(x) = \sqrt{2/L}\sin(nπx/L)\] του απειρόβαθου πηγαδιού. Δείξτε συγκεκριμένα ότι θα είναι \[Δ_x=\frac{L}{\sqrt{12}} \left(1-\frac{6}{n^2π^2}\right)^{1/2}, \quadΔ_p=\frac{\hbarπ}{L}n\] Ικανοποιούν αυτά τα αποτελέσματα την ανισότητα του Heisenberg;

3.1 Λύση

\[\left< x \right> = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} x\sin^2(\frac{nπx}{L})\,dx = \frac{L}{2}\] \[\begin{split} \left< x^2 \right> &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} x^2 \sin^2(\frac{nπx}{L})\,dx\\ &= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x^2 (1-\cos(\frac{2nπx}{L}))\,dx \end{split}\] Έχουμε \[\begin{drcases} \int x\sin^2(ax)\,dx = \frac{x^2}{4}-x\frac{\sin(2ax)}{4a}-\frac{\cos(2ax)}{8a^2}\\ \int x^2\cos(ax)\,dx = \frac{2x}{a^2}\cos(ax)+\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2}{a^3}\right)\sin(ax) \end{drcases} \left< x^2 \right>=\frac{L^2}{3}-\frac{L^2}{2n^2π^2}\] Έτσι μπορούμε να βρούμε το \(Δ_x\) \[\boxed{ Δ_x = \sqrt{\left< x^2 \right> - \left< x \right>^2} = \frac{L}{\sqrt{12}}\left(1-\frac{6}{n^2π^2}\right)^{1/2} }\] Ξέρουμε ότι \(\left< p \right> = 0\) για κάθε πραγματική συνάρτηση. Άρα αρκεί να βρούμε το \(\left< p^2 \right>\) \[\begin{split} \left< p^2 \right> &= (-i\hbar)^2 \int_{0}^{L} ψ(x) ψ''(x) \,dx\\ &= (-i\hbar)^2 \left(\int_{0}^{L} (ψ(x)ψ'(x))'\,dx - \int_{0}^{L} ψ'(x)ψ'(x) \,dx \right)\\ &= 0 + \hbar^2 \int_{0}^{L} \left(\frac{d ψ}{d x}\right)^2\,dx \end{split}\] Επίσης έχουμε ότι \[H = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p^2 = 2mH\] \[\begin{split} \left< p^2 \right> &= 2m\left< H \right> = 2mE_n = 2m\frac{\hbar^2π^2}{2mL^2}n^2\\ &= \frac{\hbar^2π^2}{L^2}n^2\\ \text{άρα } Δ_p &= \sqrt{\left< p^2 \right>} \Rightarrow \boxed{Δ_p = \frac{\hbarπ}{L}n} \end{split}\] Τέλος υπολογίζουμε το γινόμενο \(Δ_x Δ_p\) \[\begin{split} Δ_x Δ_p&= \frac{\hbar π}{\sqrt{12}}n\left(1-\frac{6}{n^2 p^2}\right)^{1/2}\\ &\stackrel{n=1}{=} Δ_x Δ_p= h\frac{π}{\sqrt{12}}\sqrt{1-\frac{6}{π^2}} \simeq 0.568\hbar \end{split}\] Δηλαδή οριακά ικανοποιεί την ανισότητα του Heisenberg.