4 Πρόβλημα

l0.20

Ένα σωματίδιο μάζας m είναι υποχρεωμένο να κινείτε μέσα στο διδιάστατο ορθογώνιο κουτί του παρατιθέμενου σχήματος. Να βρεθούν οι επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας του.
Υπόδειξη: Το Πρόβλημαμπορεί να λυθεί είτε εξαρχής -με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών- είτε ως “επαλληλία” δύο μονοδιάστατων πηγαδιών κατά τις κατευθύνσεις $x$ και $y$.

4.1 Λύση

Παίρνουμε την εξίσωση του Schrödinger για μονοδιάστατο σύστημα $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{d x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$$ και την μετατρέπουμε για διδιάστατο σύστημα $$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \left (\dfrac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial x^2} + \dfrac{\partial ^2 \psi(x,y)}{\partial y^2} \right) + V(x,y)\psi(x,y) = E \psi(x,y)$$ Ξέροντας ότι $V(x,y) = 0$ μέσα στο ορθογώνιο και $V(x,y) = \infty$ έξω από το ορθογώνιο, η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί $$\label{eqn:4_1} - \dfrac{\hbar^2}{2m} \left (\dfrac{\partial^2 \psi(x,y)}{\partial x^2} + \dfrac{\partial ^2 \psi(x,y)}{\partial y^2} \right) = E \psi(x,y)$$ Άρα από την @ref(eqn:4_1) μπορούμε να πούμε ότι $$\label{eqn:4_x} - \dfrac{\hbar^2}{2m} \left (\dfrac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} \right) = \varepsilon_x X(x)$$

$$\label{eqn:4_y} - \dfrac{\hbar^2}{2m} \left (\dfrac{\partial ^2 Y(y)}{\partial y^2} \right) = \varepsilon_y Y(y)$$ Όπου η συνολική ενέργεια είναι $Ε = ε_x + ε_y$
Οι διαφορικές εξισώσεις $$eqn:4_x$$ και $$eqn:4_y$$ έχουν ως γενικές λύσεις $$\label{eqn:4_xsol} X(x) = A_x \sin (k_x x) + B_x \cos(k_xx)$$ $$\label{eqn:4_ysol} Y(y) = A_y \sin (k_y y) + B_y \cos(k_y y)$$ Ξέροντας ότι $\psi(0,y) = \psi(x,0)=0$ βρίσκουμε ότι και $B_x=B_y=0$. Από $$eqn:4_xsol$$ και $$eqn:4_ysol$$ καταλήγουμε ότι $$\label{eqn:4_psi_x_y} \psi (x,y)=N \sin\left ( \sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_x}{\hbar^2}}x \right ) \sin \left ( \sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_y}{\hbar^2}}y \right )$$ Για να ισχύει ότι $ψ(L,y) = 0$ και $ψ(x,L) = 0$ πρέπει να ισχύει $$\begin{split} ψ(L,y) = N \sin\left ( \sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_x}{\hbar^2}}L \right ) \sin \left ( \sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_y}{\hbar^2}}y \right ) &= 0\\ \end{split}$$

$$\label{eqn:4_con1} \text{άρα } \sin\left ( \sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_x}{\hbar^2}}L \right ) =0$$ $$\label{eqn:4_con2} \text{και αντίστοιχα για } ψ(x,L)=0 \Rightarrow \sin\left ( \sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_y} {\hbar^2}}L\right ) =0$$ Από $$eqn:4_con1$$ και $$eqn:4_con2$$ βρίσκουμε ότι $$\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_x}{\hbar^2}}L = n_x \pi \Rightarrow \varepsilon_{n_x}=\dfrac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}n_{x}^{2}$$ $$\sqrt{\dfrac{2m\varepsilon_y}{\hbar^2}}L = n_y \pi \Rightarrow \varepsilon_{n_y}=\dfrac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}n_{y}^{2}$$ Άρα οι επιτρεπόμενες τιμές ενέργειας είναι $$\boxed{E_{n_x, n_y}=\dfrac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$$