5 Πρόβλημα

Κατά τη χρονική στιγμή \(t=0\) η κατάσταση ενός σωματιδίου σε ένα απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση \[\label{eqn:state_5} ψ(x) = N\sin^3\frac{πx}{L}\]

  1. Ποια είναι τα πιθανά αποτελέσματα των μετρήσεων της ενέργειας του σωματιδίου σε αυτή την κατάσταση και ποια η πιθανότητα του καθενός;

  2. Υπολογίστε τη μέση ενέργεια και την αβεβαιότητα ενέργειας του σωματιδίου στην κατάσταση \[eqn:state_5\]. Εκφράστε τα αποτελέσματά σας συναρτήσει μόνο της ενέργειας \(E_1\) της θεμελιώδους καταστάσεως.

  3. Ποια είναι η μέση θέση ενός σωματιδίου κατά την χρονική στιγμή \(t=0\) και ύστερα απο το χρόνο \(t\);

Δίνεται επίσης \[\label{eqn:sin3} \sin^3x=\frac{1}{4}(3\sin x - \sin3x)\]

5.1 Λύση

Αρχικά υπολογίζουμε την σταθερά κανονικοποίησης

\[\label{eqn:stathera_5} \int_{-\infty}^{\infty} \left| ψ(x) \right|^2\,dx = 1 \Rightarrow N^2 \int_{-\infty}^{\infty} \sin^6 \frac{πx}{L}\, dx = 1\]

Χρησιμοποιόντας την \[eqn:sin3\] η \(ψ(x)\) μπορεί να γραφτεί κι έτσι \[ψ(x) \stackrel{\eqref{eqn:sin3}}{=} N \frac{1}{4} (3\sin{\frac{πx}{L}} - \sin{\frac{3πx}{L}})\]

Παρατηρούμε ότι η \(ψ(x) = G_1 ψ_1(x) + G_3 ψ_3(x)\) όπου \(ψ_n(x)\) είναι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις απειρόβαθο πηγαδιού. \[\begin{split} ψ(x) &= \frac{3N}{4}\sin{\frac{\pi x}{L}} - \frac{N}{4}\sin{\frac{3\pi x}{L}}\\ &= \frac{3N}{4}\sqrt{\frac{L}{2}} ψ_1 - \frac{Ν}{4}\sqrt{\frac{L}{2}} ψ_3 \\ &= c_1ψ_1 + c_3ψ_3 \end{split}\] Άρα από την \[eqn:stathera_5\] \[\int_{-\infty}^{\infty} \left| ψ(x) \right|^2\,dx = \int_{0}^{L} c_1^2ψ_1^2 + c_3^2 ψ_3^2 \,dx=1\] Ξέροντας ότι \(ψ_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{n\pi x}{L})\) βρίσκουμε τελικά την σταθερά κανονικοποίησης \(Ν\) \[\begin{split} &\Rightarrow \frac{9N^2}{16}\frac{L}{2} \int_{0}^{L} ψ_1^2 \,dx + \frac{N^2}{16}\frac{L}{2} \int_{0}^{L} ψ_3^2 \,dx = 1 \\ &\Rightarrow \left(\frac{9N^2}{32} + \frac{N^2}{32}\right)L=1\\ &\Rightarrow \boxed{N=\frac{4}{\sqrt{5L}}} \end{split}\]

  1. Βρήκαμε ότι \(C_1 = \frac{3N}{4}\sqrt{\frac{L}{2}}\) και \(C_3 = \frac{N}{4}\sqrt{\frac{L}{2}}\). Τα πιθανά αποτελέσματα των μετρήσεων ενέργειας είναι \(Ε_1\) και \(Ε_2\) με \(Ε_n = \frac{\pi \hbar^2}{2mL}n^2\) και οι πιθανότητα μέτρηση της κάθε μιας είναι \[P_1 = \left| C_1 \right|^2 = \frac{L}{2} \frac{9N^2}{16} = 0.9\] \[P_3 = \left| C_3 \right|^2 = \frac{L}{2} \frac{N^2}{16} = 0.1\]

  2. Η μέση ενέργεια είναι \[\left< E \right> = 0.9E_1 + 0.1E_3 \stackrel{E_3=9E_1}{\Rightarrow} \boxed{ \left< E \right> = 1.8E_1 }\] και η αβεβαιότητα μέτρησης ενέργειας είναι \(Δ_E = \sqrt{\left< E^2 \right> - \left< E \right>^2}\). Υπολογίζουμε \(\left< E^2 \right> = \dotsc = 9E_1^2\) άρα \[\boxed{ Δ_E \simeq 2.4E1 }\]

  3. Βρίσκουμε \(\left< x \right>_t\) για \(t=0\) \[\begin{split} \left< x \right>_0 &= \int_{-\infty}^{\infty} ψ^* xψ\,dx \\ &= N^2 \int_{-\infty}^{\infty} \sin^3(\tfrac{\pi x}{L}) x\sin^3(\tfrac{\pi x}{L}) \,dx\\ &= \ldots \\ &\Rightarrow \boxed{\left< x \right>_0 = \frac{L}{2}} \end{split}\] Επειδή και δύο ιδιοσυναρτήσεις \(Ψ_1\) και \(Ψ_3\) είναι συμμετρικές ως προς το μέσον του πηγαδιού \(\frac{L}{2}\), η υπέρθεση τους σε κάθε χρονική στιγμή θα παράγει μια κυματοσυνάρτηση επίσης συμμετρική ως προς το σημείο αυτό. Άρα καταλήγουμε πως \[\boxed{ \left< x \right>_t = \left< x \right>_0 = \frac{L}{2} }\]