7 Πρόβλημα

Η κατάσταση ενός ταλαντωτή περιγράφεται, κατά την χρονική στιγμή \(t=0\), από την κυματοσυνάρτηση \[\psi = N(2x+1)e^{-x^2/2}.\] Υπολογίστε τη μέση θέση του ταλαντωτή, ύστερα από χρόνο \(t\).

7.1 Λύση

Από το θεώρημα Ehrenfest \[\label{eqn:7_ehrenfest} \begin{gathered} \frac{d \left< x \right>}{dt} = \frac{\left< p \right>}{m} \Rightarrow \frac{d^2 \left< x \right>}{dt^2} = \frac{1}{m} \frac{d \left< p \right>}{dt} \\ \Rightarrow \frac{d^2 \left< x \right>}{dt^2} = \frac{1}{m} \left< -\frac{dV}{dx} \right> \quad ,\left(V= \frac{1}{2}mω^2x^2\right) \end{gathered}\] Άρα \[\frac{d^2 \left< x \right>}{dt^2} + ω^2\left< x \right>= 0 \stackrel{ω=1}{\Rightarrow} \boxed{\left< x \right>_t = A\cos{t} + B\sin{t}}\]

Για \(t=0\) βρίσκουμε ότι \(A = \left< x \right>_0\) \[\begin{gathered} \text{Αν} \quad\frac{d\left< x \right>}{dt} = -A\sin{t} + B\cos{t} = \frac{\left< p \right>}{m} \\ \text{για} \quad t=0 \to \frac{\left< p \right>_{t=0}}{m} = 0 \Rightarrow B=0\\ \text{οπότε} \quad \boxed{\left< x \right>_t = A\cos{t} = \left< x \right>_0 \cos{t}} \end{gathered}\] Μένει να βρούμε το \(\left< x \right>_0\) \[\left< x \right>_0 = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) x \psi(x) \,dx = \ldots = \frac{2}{3}\] Άρα η μέση θέση \(\left< x \right>_t\) είναι \[\boxed{ \left< x \right>_t = \frac{2}{3}\cos{t} }\]