6 Πρόβλημα

Για ένα πολύ βαθύ και στενό πηγάδι η συνάρτηση δυναμικού \(V(x)\) μπορεί να περιγραφεί προσεγγιστικά από μια συνάρτηση δέλτα της μορφής \[V(x) = -gδ(x), \quad (g>0) .\] Λύστε την εξίσωση Schrödinger γι’αυτό το δυναμικό και δείξτε ότι υπάρχει μόνο μία δέσμια κατάσταση με ιδιοτιμή \(E_1 = -mg^2 /2\hbar^2\) και αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση \(ψ_1(x) = Ne^{-γ\left| x \right|}\), όπου \(γ = mg /\hbar^2\).
Υπόδειξη: Δείξτε πρώτα ότι η παρουσία της συνάρτησης δέλτα στην εξίσωση Schrödinger συνεπάγεται τις ακόλουθες συνθήκες συναρμογής στο \(x=0\): \[ψ_L(0) = ψ_R(0), \quad ψ'_L(0) - ψ'_R(0) = λψ(0)\] όπου \(λ = 2mg /\hbar^2\) και \(ψ_L,ψ_R\) οι λύσεις αριστερά και δεξιά του \(x=0\) αντίστοιχα. Αυτό που πρέπει να κάνετε είναι να ολοκληρώσετε τα δύο μέλη της εξίσωσης \(ψ'' + (ε + λδ(x))ψ = 0\) σε ένα συμμετρικό διάστημα \([-α,α]\) που περιέχει το μηδέν και να πάρετε το όρια \(α \to 0\) λαμβάνοντας υπ’ όψιν και τη σχέση \[\int_{-\infty}^{\infty} δ(x) f(x) \,dx = f(0)\] η οποία ισχύει και για ένα τυχόν διάστημα ολοκλήρωσης που περιλαμβάνει την αρχή και αποτελεί τον γενικό ορισμό της συνάρτησης δέλτα.

6.1 Λύση

Η εξίσωση Schrödinger στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι \[\label{eqn:6_shr} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 ψ}{dx^2} - gδ(x)ψ(x) = Eψ(x)\] Το σωματίδιο λόγω της \(δ(x)\) θα είναι στην θέση \(x=0\) όπου η δυναμική ενέργεια είναι αρνητική. Θα πρέπει επίσης και η ολική ενέργεια να είναι \(Ε<0\) ώστε \(Ε=-\left| E \right|\).

Έστω ότι η \(δ(x)\) είναι διάφορη του μηδενός σε μια περιοχή μεταξύ \(-ε\) και \(ε\) όπου \(ε \to 0\). Ολοκληρώνουμε την \[eqn:6_shr\] από \(-ε\) έως \(ε\) \[\label{eqn:6_shr_int} -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-ε}^{ε} ψ''(x) \,dx -g \int_{-ε}^{ε} δ(x)ψ(x)\,dx = E \int_{-ε}^{ε} ψ(x)\,dx\] Επειδή για \(ε \to 0\) είναι \(λ δ(x) \gg E\), το ολοκλήρωμα στα δεξιά μπορεί να αγνοηθεί. Σύμφωνα με τις ιδιότητας της δέλτα \(\int_{-ε}^{ε} δ(x)ψ(x)\,dx = ψ(0)\), άρα η \[eqn:6_shr_int\] γίνεται \[-\frac{\hbar^2}{2m}[ψ'(ε)-ψ'(-ε)] - gψ(0) = 0, \quad \text{για } ε \to 0\] Επομένως \(ψ'(0^+)-ψ'(0^-) = -\dfrac{2mg}{\hbar^2}ψ(0)\) στην περιοχή \(x=0\).
Τώρα για \(x\neq0\) είναι \(δ(x)=0\) και η εξίσωση \[eqn:6_shr\] γίνεται \[-\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) = -\left| E \right|\psi(x)\] της οποίας η λύση είναι \[\psi(x) = A e^{kx} + B e^{-kx} \quad \text{όπου } k^2=\frac{2m\left| E \right|}{\hbar^2}\] Η \(ψ(x)\) πρέπει να είναι πεπερασμένη για \(x \to \pm \infty\) άρα \[\begin{gathered} \text{για } x<0: B=0 \text{ και } ψ_1(x) = Ae^{kx} \\ \text{για } x>0: A=0 \text{ και } ψ_2(x) = Be^{-kx} \\ \end{gathered}\] όμως \(ψ_1(0) = ψ_2(0)\) και επομένως \(Α=Β\)
Όπως δείξαμε πριν στην περιοχή \(x=0\) ισχύει \[\begin{split} ψ'(0^+)-ψ'(0^-) &= -\dfrac{2mg}{\hbar^2}ψ(0)\\ &= -\dfrac{2mg}{\hbar^2}Α \end{split}\] και η ενέργεια της δέσμιας κατάστασης είναι \(\left| E \right| = \frac{mg^2}{2 \hbar^2}\) άρα \(k=\frac{mg}{\hbar^2}\)
Υπολογίζουμε και την σταθερά κανονικοποίησης \(Α\) \[\begin{split} \left| A \right| = \sqrt{k} = \sqrt{\frac{mg}{\hbar^2}} \end{split}\] Άρα η \(ψ(x) = Αe^{-k\left| x \right|} = \sqrt{\frac{mg}{\hbar^2}} e^{-\frac{mg}{\hbar^2}\left| x \right|}\)