10 Πρόβλημα

Ύστερα από τη σύγκρουσή του με ένα άλλο άτομο, η κατάσταση ενός ατόμου υδρογόνου περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση $$\label{eqn:10_1} ψ(r) = Ne^{-r /2} \quad \text{(A.U.)}$$ Υπολογίστε την πιθανότητα, ύστερα από μια μέτρηση της ενέργειας στην κατάσταση $$eqn:10_1$$ , να προκύψει η τιμή $E_1 = -1 /2$ της θεμελιώδους καταστάσεως του ατόμου. Ποια θα είναι η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου ύστερα από μια μέτρηση που έδωσε αυτό το αποτέλεσμα;

10.1 Λύση

Αρχικά βρίσκουμε τους συντελεστές Ν των κυματοσυναρτήσεων. Για την κυματοσυνάρτηση $ψ$: $$1 = \int_{0}^{\infty} 4πr^2 \left| ψ \right|^2 \,dr = 4πN^2 \int_{0}^{\infty} e^{-r} \,dr =4π N^2 \frac{2}{1} \Rightarrow N = \frac{1}{\sqrt{8π} }$$ Για την κυματοσυνάρτηση $ψ_1$ που είναι ιδιοσυνάρτηση του ατόμου του υδρογόνου: $$1 = \int_{0}^{\infty} 4πr^2 \left| ψ_1 \right|^2 \,dr = 4πΝ_1^2 \int_{0}^{\infty} e^{-2r} \,dr = 4πΝ_1^2 \frac{2}{2^3} \Rightarrow N_1 = \frac{1}{\sqrt{π} }$$ Γράφουμε την $ψ$ ως άθροισμα ιδιοσυναρτήσεων $$ψ(r) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n ψ_n(r)$$ Ο συντελεστής $c_1$ μπορεί να βρεθεί από το εσωτερικό γινόμενο των $ψ(r)$ και $ψ_1(r)$ $$c_1 = \int_{0}^{\infty} 4πr^2 ψ^*(r) ψ_1(r) \,dr = \ldots = \frac{16\sqrt{2}}{27}$$ Άρα η πιθανότητα μετά από μέτρηση η ενέργεια να είναι ίση με $Ε_1$ είναι: $$\boxed{ c_1^2 = 0.7023 \simeq 70\% }$$ Και ύστερα απο την μέτρηση η κυματοσυνάρτηση του ατόμου θα είναι η $ψ_1$