10 Πρόβλημα

Ύστερα από τη σύγκρουσή του με ένα άλλο άτομο, η κατάσταση ενός ατόμου υδρογόνου περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση \[\label{eqn:10_1} ψ(r) = Ne^{-r /2} \quad \text{(A.U.)}\] Υπολογίστε την πιθανότητα, ύστερα από μια μέτρηση της ενέργειας στην κατάσταση \[eqn:10_1\], να προκύψει η τιμή \(E_1 = -1 /2\) της θεμελιώδους καταστάσεως του ατόμου. Ποια θα είναι η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου ύστερα από μια μέτρηση που έδωσε αυτό το αποτέλεσμα;

10.1 Λύση

Αρχικά βρίσκουμε τους συντελεστές Ν των κυματοσυναρτήσεων. Για την κυματοσυνάρτηση \(ψ\): \[1 = \int_{0}^{\infty} 4πr^2 \left| ψ \right|^2 \,dr = 4πN^2 \int_{0}^{\infty} e^{-r} \,dr =4π N^2 \frac{2}{1} \Rightarrow N = \frac{1}{\sqrt{8π} }\] Για την κυματοσυνάρτηση \(ψ_1\) που είναι ιδιοσυνάρτηση του ατόμου του υδρογόνου: \[1 = \int_{0}^{\infty} 4πr^2 \left| ψ_1 \right|^2 \,dr = 4πΝ_1^2 \int_{0}^{\infty} e^{-2r} \,dr = 4πΝ_1^2 \frac{2}{2^3} \Rightarrow N_1 = \frac{1}{\sqrt{π} }\] Γράφουμε την \(ψ\) ως άθροισμα ιδιοσυναρτήσεων \[ψ(r) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n ψ_n(r)\] Ο συντελεστής \(c_1\) μπορεί να βρεθεί από το εσωτερικό γινόμενο των \(ψ(r)\) και \(ψ_1(r)\) \[c_1 = \int_{0}^{\infty} 4πr^2 ψ^*(r) ψ_1(r) \,dr = \ldots = \frac{16\sqrt{2}}{27}\] Άρα η πιθανότητα μετά από μέτρηση η ενέργεια να είναι ίση με \(Ε_1\) είναι: \[\boxed{ c_1^2 = 0.7023 \simeq 70\% }\] Και ύστερα απο την μέτρηση η κυματοσυνάρτηση του ατόμου θα είναι η \(ψ_1\)