8 Πρόβλημα

l0.30

Να βρεθεί η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας για το δυναμικό του παρατιθέμενου σχήματος. Ποιο είναι το πήρες σύνολο των ιδιοκαταστάσεων του και των αντίστοιχων ιδιοτιμών;

8.1 Λύση

Το ενεργειακό φάσμα του Α.Α.Τ είναι \(E_n = \hbar*ω(n + \frac{1}{2}),\quad n=0,1,2\)
Εξίσωση ιδιοτιμών: \[\label{eqn:8_hamil} \hat{H}Ψ_n = E_nΨ_n \quad, \hat{H}\text{ χαμιλτονιανή}\] Έχουμε \[\label{eqn:8_h1} \hat{H} = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2} + V({x})\] Από μπορούμε να γράψουμε την \[eqn:8_hamil\] \[\Rightarrow \left(\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2} + V({x})\right) Ψ_n(x) = E_n Ψ_n(x)\]

Για την \(V(x)\) \[\label{eqn:8_v1} \begin{split} V({x}) &= \frac{1}{2}kx^2 \\ &= \frac{1}{2}m ω^2 x^2, \quad x>0 \end{split}\] ξέρουμε ότι είναι άρτια συνάρτηση του \(x\).
Άρα \(Ψ_n\) για \(n=0,2,4\ldots\) είναι άρτια και για \(n=1,3,5\ldots\) περιττή. Εφόσον \(Ψ_n(0) = 0\) ικανοποιείται μόνο από τις περιττές συναρτήσεις το σύνολο των ιδιοκαταστάσεων του συστήματος είναι \(Ψ_n, \quad n=1,3,5\ldots\infty\) με \(E_n = t_1 ω (n + \frac{1}{2})\)

Άρα \[\boxed{ E_{min} = \frac{3}{2}t_1 ω \stackrel{ω=\sqrt{\frac{k}{m}}}{=} \frac{3}{2}t_1 \sqrt{\frac{k}{m}} }\]