2 Πρόβλημα

Η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου έχει, σε μια ορισμένη στιγμή, τη μορφή

\[\label{eqn:state_2} ψ(x)= \frac{1}{\sqrt{2}}(ψ_1+ψ_2)\] όπου \(ψ_1\) και \(ψ_2\) κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας με ιδιοτιμές \(E_1\) και \(E_2\) αντίστοιχα.

  1. Υπολογίστε τη μέση ενέργεια και την αβεβαιότητα ενέργειας για την κατάσταση \[eqn:state_2\].

  2. Υποθέτοντας επιπλέον ότι \(ψ_1(x)\) είναι μια άρτια συνάρτηση και η \(ψ_2(x)\) περιττή (κάτι που συμβαίνει πολύ συχνά στην πράξη), υπολογίστε τη μέση θέση του σωματιδίου ύστερα από χρόνο \(t\). Για μεγαλύτερη απλότητα μπορείτε να υποθέσετε επίσης ότι οι \(ψ_1(x),ψ_2(x)\) είναι πραγματικές συναρτήσεις.

2.1 Λύση

  1. Η \[eqn:state_2\] είναι της μορφής \(ψ=c_1ψ_1+c_2ψ_2\) με \(c_1=c_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Έχουμε ότι \[\boxed{\left< E \right>= \sum_{i}\left| c_i \right|^2 E_i = \dotsc = \frac{1}{2}(E_1+E_2)}\] και αντίστοιχα \[\left< E^2 \right>= \sum_{i}\left| c_i \right|^2 E_i^2 = \dotsc = \frac{1}{2}(E_1^2+E_2^2)\] Άρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα της ενέργειας \[\boxed{ Δ_E=\sqrt{\left< E^2 \right> - \left< E \right>^2} = \frac{1}{2} \left| E_1-E_2 \right| }\]

  2. Έχουμε \[\begin{split} \left< x \right>_t &=\intψ^*(x,t) xψ(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{2}\left(e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}ψ_1+e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}ψ_2, x(e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}ψ_1+e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}ψ_2)\right)\\ &=\frac{1}{2}(A_{11} +A_{12} +A_{21} +A_{22}) \end{split}\] όπου \[Α_{11} = (e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}ψ_1, xe^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}ψ_1) = \int ψ_1 xψ_1\,dx=0\] \[Α_{22} = (e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}ψ_2, xe^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}ψ_2) = \int ψ_2 xψ_2\,dx=0\] \[Α_{12} = (e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}ψ_1, xe^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}ψ_2) = e^{-i\frac{E_1-E_2}{\hbar}t}(ψ_1,xψ_2)\] \[Α_{21} = (e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}ψ_2, xe^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}ψ_1) = e^{-i\frac{E_2-E_1}{\hbar}t}(ψ_2,xψ_1)\] Θέτω \(ω=\frac{E_1-E_2}{\hbar}\) οπότε \[Α_{12} + Α_{21} = 2(ψ_1,xψ_2)\cos{ωt}\]

    Βρίσκουμε και το \(\left< x \right>_0\) \[\begin{split} \left< x \right>_0 &= (ψ(x,0),xψ(x,0)) \\ &= \frac{1}{2} [ \cancelto{0}{(ψ_1,xψ_1)} +\stackrel{J_{12}}{(ψ_1,xψ_2)} +\stackrel{J_{12}}{(ψ_2,xψ_1)} +\cancelto{0}{(ψ_2,xψ_2)}]\\ &= \frac{1}{2} 2(ψ_1,xψ_2)\\ \end{split}\]

    Άρα βρήκαμε ότι \(\left< x \right>_t = \frac{1}{2}2(ψ_1,xψ_2)\cos{ωt}\) \[\boxed{ \left< x \right>_t = \left< x \right>_0 \cos{ωt} }\]