1 Πρόβλημα

Η κατάσταση ενός σωματιδίου σε μια ορισμένη στιγμή περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση ψ(x) = Nxe^{-λx^2/2}

  1. Υπολογίστε τις ποσότητες \left< x \right>, Δ_x, \left< p \right> και Δ_p και βεβαιωθείτε ότι το γινόμενο αβεβαιότητας Δ_x\cdotΔ_p δεν παραβιάζει την αρχή του Heisenberg.

  2. Στη γειτονιά ποιων σημείων είναι πιθανότερο να βρεθεί το σωματίδιο σε μια μέτρηση θέσης;

1.1 Λύση

  1. Αρχικά βρίσκουμε το N: 1=\int_{-\infty}^{+\infty} \left| ψ^2 \right|\,dx = \left| N \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-λx^2}\,dx = \left| N \right|^2 \frac{1}{2λ}\sqrt{\frac{π}{λ}} \fbox{$\left| N \right|^2=$=$2λ\sqrt{\dfrac{λ}{π}}$}

    Για να βρούμε το \left< x \right> κάνουμε \left< x \right> = \int_{-\infty}^{+\infty} x ψ^*(x) ψ(x) \,dx = \left| N \right|^2\int_{-\infty}^{+\infty} x^3 e^{-λx^2}\,dx Λόγω περιττής συνάρτησης το ολοκλήρωμα βγαίνει 0 άρα

    Βρίσκουμε και το \left< x^2 \right> \begin{split} \left< x^2 \right> &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 ψ^*(x) ψ(x) \,dx = N^2 \int_{-\infty}^{+\infty} x^4 e^{-λx^2}\,dx\\ &= \text{$2λ\sqrt{\dfrac{λ}{π}}$} \frac{3}{4λ^2}\sqrt{\frac{π}{λ}} = \frac{3}{2λ} \end{split} Ξέροντας ότι Δ_x^2 = \left< x^2 \right>-{\left< x \right>^2} μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το Δ_x. \fbox{$Δ_x = \sqrt{\dfrac{3}{2λ}}$}

    Για να βρούμε το \left< p \right> κάνουμε \begin{split} \left< p \right> &=\left| N \right|^2 \int_{-\infty}^{+\infty} xe^{-λx^2} (i\hbar\frac{\partial}{\partial_x}) xe^{-λx^2} \,dx\\ &=\left| N \right|^2 i\hbar \int_{-\infty}^{+\infty} xe^{-λx^2} (e^{-λx^2} + x(-λx)e^{-λx^2}) \,dx\\ &=\dotsc=0 \end{split} παρόμοια για \left< p^2 \right> \left< p^2 \right> =\dotsc =\frac{3}{2}\hbar^2λ Άρα από την σχέση Δ_p^2=\left< p^2 \right>-\left< p \right>^2=\frac{3}{2}\hbar^2λ βρίσκουμε

    Τέλος βρίσκουμε ότι Δ_x\cdotΔ_p=\hbar\sqrt{\frac{9λ}{4λ}}=\frac{3}{2}\hbar \geq \frac{\hbar}{2} που ικανοποιεί την αρχή του Heisenberg

  2. Η πιθανότητα ένα σωματίδιο να βρίσκετε σε ένα σημείο x είναι

    \begin{equation} P(x) = \left| ψ(x) \right|^2 \tag{1.1} \end{equation}

    Για να βρούμε το σημείο που είναι πιθανότερο να βρεθεί το σωματίδιο αρκεί να βρούμε που μεγιστοποιείται η (1.1) P(x_{max}) = \dotsc = \pm\frac{1}{\sqrt{λ}}